Deep Belief Network 学习笔记-RBM
By Placebo
(纯属个人笔记)
第一次知道deep learning，是上学期dengli博士来实验室的一次报告，他讲到，当神经网络的层数大于2时（即一个hidden层，一个输出层，不算输入层，之后皆采用这种表述法），经典的训练方法效果会很差，如果层数继续增多，则完全没法训练。当时对神经网络知之甚少，直到最近较认真的学了下机器学习，才明白。
什么是deep learning？我们知道（虽然不知道如何证明）2层神经网络的建模能力是非常强大的，但是要求隐节点个数足够多，多到难以接受。如果采用更深层的网络，比如3层网络，即两个hidden层，每层100个节点，则可以和hidden层有10000个节点的2层网络建模能力差不多，类似，4层网络，三个hidden层，每层100个节点，可以和hidden层有1000000个节点的2层网络建模能力差不多。这就是加深网络深度带来的好处。但是网络深了，针对3层网络的训练方法再用起来就会失败，因为参数的局部极小值太多了，很容易陷入到一个很烂的极值。
Hinton于XXXX年提出了一种方法，把RBM（Restricted Boltzmann Machines）堆叠在一起，训练出权值，把这个权值当成神经网络权值的初始值，再用经典的梯度法去训练网络，最后得到的结果会很好。也就是说通过选择好的参数初始值让结果更好。
但是RBM是种能量模型，他的权值是用来计算连接节点的能量值的，而神经网络的权值是种递进式的，为什么前者的权值直接给后者用也可以呢，我也不清楚，总是感觉不科学，因为调研的甚少，也没发现解释为什么的文章。
这里先讲下RBM是如何训练的。
先说Boltzmann Machines，这是一种无向图模型，有N个节点，节点是互相连接的（不一定要全连接），第i个节点和第j个节点间权值为wij，为简单起见，这里认为节点的取值是2值的，即只能取0或1。有些节点值是已知的，有些是未知的,我们把已知的和未知的分开，分成两层，已知的节点集记为V，未知的节点集合记为H。若是V内节点之间都不相连，H内节点之间也都不相连，这种模型叫Restricted Boltzmann Machines。
定义一个能量函数E(V，H)
则
\[{\rm{P}}\left( {
{\rm{v}},{\rm{h}}} \right) = \frac{ { { {\rm{e}}^{ - {\rm{E}}({\rm{v}},{\rm{h}})}}}}{ { \sum \nolimits_{ {\rm{u}},{\rm{g}}} { {\rm{e}}^{ - {\rm{E}}({\rm{u}},{\rm{g}})}}}}\]最大化P(V)的值，用梯度法，经过一系列推导可得权值的更新规则为
∆wij=<vihj>data - <vihj>model
这里的<>意思是求期望，data是指已知样本集时，vihj的期望值，这时vi是由样本确定的，hj是未知的。而第二项，是模型中vihj的期望值。这时vi，hj都是未知的。
直接求这两个期望不好求，可以用抽样的方法来估计。第一项，可以通过P(hj|v)抽样出hj，这里hj之和v有关，和hk无关，因为RBM假定H内的节点之间没有连接，这种限制简化了计算。
第二项也可以用抽样法算出，不过要反复抽样，用P(hj|v)抽出每个hj，再用p(vi|h)抽出每个vi，不断反复，最后这个抽样过程得到的抽样分布会收敛到模型的真实分布。但是这个过程太慢了，于是hinton提出一种估计的办法，用P(hj|v)抽出每个hj，再用p(vi|h)抽出每个vi，再用P(hj|v)抽出每个hj，∆w中的第二项直接用这时得到的v和h来计算。这种方法得到的解也是可接受的。
虽然说RBM用到了MRF相关的理论，但是即使对这些理论理解得很浅，也可以直接拿CD算法来用。机器学习里理论上的东西看起来都蛮复杂，比如收敛性证明，误差上界证明之类的，但是若是有了算法的菜谱版，配上便于做科学计算的编程工具，如matlab，numpy，r等，是很容易用的。可惜此领域很多文章并没有明显的给出菜谱式算法。